图基础操作

图的基础操作可分为对“边”的操作和对“顶点”的操作。在“邻接矩阵”和“邻接表”两种表示方法下，实现方式有所不同。

9.2.1   基于邻接矩阵的实现

给定一个顶点数量为 n 的无向图，则各种操作的实现方式如图 9-7 所示。

• 添加或删除边：直接在邻接矩阵中修改指定的边即可，使用 O(1) 时间。而由于是无向图，因此需要同时更新两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接矩阵的尾部添加一行一列，并全部填 0 即可，使用 O(n) 时间。
• 删除顶点：在邻接矩阵中删除一行一列。当删除首行首列时达到最差情况，需要将 (n−1)2 个元素“向左上移动”，从而使用 O(n²) 时间。
• 初始化：传入 n 个顶点，初始化长度为 n 的顶点列表 vertices ，使用 O(n) 时间；初始化 n×n 大小的邻接矩阵 adjMat ，使用 O(n²) 时间。

图 9-7   邻接矩阵的初始化、增删边、增删顶点

以下是基于邻接矩阵表示图的实现代码。

graph_adjacency_matrix.cpp

/* 基于邻接矩阵实现的无向图类 */
class GraphAdjMat {
    vector<int> vertices;       // 顶点列表，元素代表“顶点值”，索引代表“顶点索引”
    vector<vector<int>> adjMat; // 邻接矩阵，行列索引对应“顶点索引”

  public:
    /* 构造方法 */
    GraphAdjMat(const vector<int> &vertices, const vector<vector<int>> &edges) {
        // 添加顶点
        for (int val : vertices) {
            addVertex(val);
        }
        // 添加边
        // 请注意，edges 元素代表顶点索引，即对应 vertices 元素索引
        for (const vector<int> &edge : edges) {
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() const {
        return vertices.size();
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(int val) {
        int n = size();
        // 向顶点列表中添加新顶点的值
        vertices.push_back(val);
        // 在邻接矩阵中添加一行
        adjMat.emplace_back(vector<int>(n, 0));
        // 在邻接矩阵中添加一列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.push_back(0);
        }
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(int index) {
        if (index >= size()) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在顶点列表中移除索引 index 的顶点
        vertices.erase(vertices.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的行
        adjMat.erase(adjMat.begin() + index);
        // 在邻接矩阵中删除索引 index 的列
        for (vector<int> &row : adjMat) {
            row.erase(row.begin() + index);
        }
    }

    /* 添加边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void addEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        // 在无向图中，邻接矩阵沿主对角线对称，即满足 (i, j) == (j, i)
        adjMat[i][j] = 1;
        adjMat[j][i] = 1;
    }

    /* 删除边 */
    // 参数 i, j 对应 vertices 元素索引
    void removeEdge(int i, int j) {
        // 索引越界与相等处理
        if (i < 0 || j < 0 || i >= size() || j >= size() || i == j) {
            throw out_of_range("顶点不存在");
        }
        adjMat[i][j] = 0;
        adjMat[j][i] = 0;
    }

    /* 打印邻接矩阵 */
    void print() {
        cout << "顶点列表 = ";
        printVector(vertices);
        cout << "邻接矩阵 =" << endl;
        printVectorMatrix(adjMat);
    }
};

基于邻接表的实现

设无向图的顶点总数为 n、边总数为 m ，则可根据图 9-8 所示的方法实现各种操作。

• 添加边：在顶点对应链表的末尾添加边即可，使用 O(1) 时间。因为是无向图，所以需要同时添加两个方向的边。
• 删除边：在顶点对应链表中查找并删除指定边，使用 O(m) 时间。在无向图中，需要同时删除两个方向的边。
• 添加顶点：在邻接表中添加一个链表，并将新增顶点作为链表头节点，使用 O(1) 时间。
• 删除顶点：需遍历整个邻接表，删除包含指定顶点的所有边，使用 O(n+m) 时间。
• 初始化：在邻接表中创建 n 个顶点和 2m 条边，使用 O(n+m) 时间。

图 9-8   邻接表的初始化、增删边、增删顶点

以下是基于邻接表实现图的代码示例。细心的同学可能注意到，我们在邻接表中使用 Vertex 节点类来表示顶点，而这样做是有原因的。

1. 如果我们选择通过顶点值来区分不同顶点，那么值重复的顶点将无法被区分。
2. 如果类似邻接矩阵那样，使用顶点列表索引来区分不同顶点。那么，假设我们想要删除索引为 i 的顶点，则需要遍历整个邻接表，将其中 >i 的索引全部减 1 ，这样操作效率较低。
3. 因此我们考虑引入顶点类 Vertex ，使得每个顶点都是唯一的对象，此时删除顶点时就无须改动其余顶点了。

graph_adjacency_list.cpp

/* 基于邻接表实现的无向图类 */
class GraphAdjList {
  public:
    // 邻接表，key: 顶点，value：该顶点的所有邻接顶点
    unordered_map<Vertex *, vector<Vertex *>> adjList;

    /* 在 vector 中删除指定节点 */
    void remove(vector<Vertex *> &vec, Vertex *vet) {
        for (int i = 0; i < vec.size(); i++) {
            if (vec[i] == vet) {
                vec.erase(vec.begin() + i);
                break;
            }
        }
    }

    /* 构造方法 */
    GraphAdjList(const vector<vector<Vertex *>> &edges) {
        // 添加所有顶点和边
        for (const vector<Vertex *> &edge : edges) {
            addVertex(edge[0]);
            addVertex(edge[1]);
            addEdge(edge[0], edge[1]);
        }
    }

    /* 获取顶点数量 */
    int size() {
        return adjList.size();
    }

    /* 添加边 */
    void addEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 添加边 vet1 - vet2
        adjList[vet1].push_back(vet2);
        adjList[vet2].push_back(vet1);
    }

    /* 删除边 */
    void removeEdge(Vertex *vet1, Vertex *vet2) {
        if (!adjList.count(vet1) || !adjList.count(vet2) || vet1 == vet2)
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 删除边 vet1 - vet2
        remove(adjList[vet1], vet2);
        remove(adjList[vet2], vet1);
    }

    /* 添加顶点 */
    void addVertex(Vertex *vet) {
        if (adjList.count(vet))
            return;
        // 在邻接表中添加一个新链表
        adjList[vet] = vector<Vertex *>();
    }

    /* 删除顶点 */
    void removeVertex(Vertex *vet) {
        if (!adjList.count(vet))
            throw invalid_argument("不存在顶点");
        // 在邻接表中删除顶点 vet 对应的链表
        adjList.erase(vet);
        // 遍历其他顶点的链表，删除所有包含 vet 的边
        for (auto &adj : adjList) {
            remove(adj.second, vet);
        }
    }

    /* 打印邻接表 */
    void print() {
        cout << "邻接表 =" << endl;
        for (auto &adj : adjList) {
            const auto &key = adj.first;
            const auto &vec = adj.second;
            cout << key->val << ": ";
            printVector(vetsToVals(vec));
        }
    }
};

效率对比

设图中共有 n 个顶点和 m 条边，表 9-2 对比了邻接矩阵和邻接表的时间和空间效率。

表 9-2   邻接矩阵与邻接表对比

观察表 9-2 ，似乎邻接表（哈希表）的时间与空间效率最优。但实际上，在邻接矩阵中操作边的效率更高，只需要一次数组访问或赋值操作即可。综合来看，邻接矩阵体现了“以空间换时间”的原则，而邻接表体现了“以时间换空间”的原则。