我们已经学过，搜索算法分为两大类。

• 暴力搜索：它通过遍历数据结构实现，时间复杂度为 $O(n)$ 。
• 自适应搜索：它利用特有的数据组织形式或先验信息，可达到 $O(\log n)$ 甚至 $O(1)$ 的时间复杂度。

实际上，时间复杂度为 $O(\log n)$ 的搜索算法通常都是基于分治策略实现的，例如二分查找和树。

• 二分查找的每一步都将问题（在数组中搜索目标元素）分解为一个小问题（在数组的一半中搜索目标元素），这个过程一直持续到数组为空或找到目标元素为止。
• 树是分治关系的代表，在二叉搜索树、AVL 树、堆等数据结构中，各种操作的时间复杂度皆为 $O(\log n)$ 。

二分查找的分治策略如下所示。

• 问题可以被分解：二分查找递归地将原问题（在数组中进行查找）分解为子问题（在数组的一半中进行查找），这是通过比较中间元素和目标元素来实现的。
• 子问题是独立的：在二分查找中，每轮只处理一个子问题，它不受另外子问题的影响。
• 子问题的解无须合并：二分查找旨在查找一个特定元素，因此不需要将子问题的解进行合并。当子问题得到解决时，原问题也会同时得到解决。

分治能够提升搜索效率，本质上是因为暴力搜索每轮只能排除一个选项，而分治搜索每轮可以排除一半选项。

基于分治实现二分

在之前的章节中，二分查找是基于递推（迭代）实现的。现在我们基于分治（递归）来实现它。

从分治角度，我们将搜索区间 $[i,j]$ 对应的子问题记为 $f(i,j)$ 。

从原问题 $f(0,n-1)$ 为起始点，通过以下步骤进行二分查找。

1. 计算搜索区间 $[i,j]$ 的中点 $m$ ，根据它排除一半搜索区间。
2. 递归求解规模减小一半的子问题，可能为 $f(i,m-1)$ 或 $f(m+1,j)$ 。
3. 循环第 1. 和 2. 步，直至找到 target 或区间为空时返回。

图 12-4 展示了在数组中二分查找元素 $6$ 的分治过程。

图 12-4   二分查找的分治过程

在实现代码中，我们声明一个递归函数 dfs() 来求解问题 $f(i,j)$ 。

binary_search_recur.cpp

/* 二分查找：问题 f(i, j) */
int dfs(vector<int> &nums, int target, int i, int j) {
    // 若区间为空，代表无目标元素，则返回 -1
    if (i > j) {
        return -1;
    }
    // 计算中点索引 m
    int m = (i + j) / 2;
    if (nums[m] < target) {
        // 递归子问题 f(m+1, j)
        return dfs(nums, target, m + 1, j);
    } else if (nums[m] > target) {
        // 递归子问题 f(i, m-1)
        return dfs(nums, target, i, m - 1);
    } else {
        // 找到目标元素，返回其索引
        return m;
    }
}

/* 二分查找 */
int binarySearch(vector<int> &nums, int target) {
    int n = nums.size();
    // 求解问题 f(0, n-1)
    return dfs(nums, target, 0, n - 1);
}